Elementi finiti dal punto di vista topologico

Utilizzando RFEM, è possibile analizzare vari componenti strutturali come elementi di aste, piastre, pareti, gusci e solidi. Prima di eseguire qualsiasi calcolo, è necessario generare una mesh agli elementi finiti (FE) che corrisponda agli elementi 1D, 2D e 3D desiderati.

L'analisi agli elementi finiti prevede la scomposizione del sistema strutturale in sottosistemi più piccoli, ciascuno rappresentato da elementi finiti. Le condizioni di equilibrio sono stabilite per ciascuno di questi elementi. Questo processo porta alla formulazione di un sistema lineare di equazioni con numerose variabili incognite. La precisione dei risultati è direttamente influenzata dal livello di raffinamento nella dimensione della mesh degli elementi finiti. È importante notare che una mesh più fine migliora la precisione, ma aumenta anche significativamente il tempo di calcolo a causa della maggiore quantità di dati elaborati. Questo perché equazioni aggiuntive devono essere risolte per ogni nodo EF supplementare.

Fortunatamente, la mesh EF è generata automaticamente dal software. Tuttavia, esistono opzioni che forniscono il controllo sul processo di generazione della mesh.

Elementi 1D

Per quanto riguarda gli elementi dell'asta, si presume che la sezione trasversale mantenga la sua forma piana durante la deformazione. Gli elementi dell'asta 1D sono utilizzati per rappresentare travi, travature reticolari, nervature, funi e collegamenti rigidi. Ogni elemento dell'asta 1D comprende un totale di dodici gradi di libertà, sei nel suo punto di inizio e sei nel suo punto terminale. Quei gradi di libertà riguardano gli spostamenti (u_x, u_y, u_z ) e le rotazioni (φ_x, φ_y, φ_z ).

Se l'add-on Torsione di ingobbamento è attivato, è disponibile un ulteriore grado di libertà su ciascun nodo, che può essere utilizzato per tenere conto dell'ingobbamento.

Nel contesto dell'analisi strutturale lineare, trazione, compressione e torsione sono espresse come funzioni lineari lungo l'asse dell'asta (x), indipendentemente dagli effetti di flessione e taglio. Questa rappresentazione approssima questi effetti utilizzando un polinomio del terzo ordine in x, che tiene conto anche dell'influenza delle tensioni di taglio risultanti dalle forze di taglio V_y e V_z. La matrice di rigidezza K_L (12, 12) caratterizza il comportamento lineare di questi elementi 1D. Inoltre, per scenari che coinvolgono problemi geometricamente non lineari in cui la forza assiale interagisce con la flessione, viene utilizzata la matrice di rigidezza K_NL (12, 12).

Per calcoli precisi nei casi che comportano deformazioni significative, è consigliabile migliorare la precisione della mesh agli elementi finiti (FE) per le linee, come dettagliato nel capitolo Infittimenti della mesh delle linee della documentazione.

Elementi 2D

Comunemente, gli elementi quadrangolari fungono da componenti 2D all'interno dell'analisi strutturale. Il processo di generazione della mesh introduce elementi triangolari dove sono necessari. I gradi di libertà associati ai nodi degli angoli sia degli elementi quadrilateri che triangolari sono allineati con quelli degli elementi 1D, comprendendo lo spostamento (u_x, u_y, u_z ) e la rotazione (φ_x, φ_y, φ_z ). Questa disposizione garantisce la compatibilità tra gli elementi 1D e 2D nei nodi. I parametri sono inizialmente definiti nel sistema di coordinate planari locale degli elementi e successivamente trasformati nel sistema di coordinate globali durante la creazione della matrice di rigidezza globale.

Elementi shell (2D) in RFEM

Gli elementi del guscio planari sono fondati nella teoria di Mindlin/Reissner. La rappresentazione grafica nella figura illustra gli approcci degli elementi. Per collegare direttamente gli elementi dell'asta, viene adottato un approccio quadrato all'interno del piano del guscio (u_x, u_y ). Questa scelta elimina i nodi intermedi, risultando in un elemento a quattro nodi con un grado di libertà aggiunto φ_x. Questa configurazione facilita l'accoppiamento diretto tra gli elementi della parete e gli elementi della trave. Inoltre, vengono utilizzati gli elementi MITC4 (interpolazione mista di componenti tensoriali) introdotti da Dvorkin e Bathe [1]. Si basano su una tecnica di interpolazione mista che comprende deformazioni trasversali, rotazioni di sezioni trasversali e deformazioni di taglio trasversali.

Al momento, gli elementi dell'asta vengono trattati risolvendo direttamente l'equazione differenziale dell'analisi del secondo ordine. Tuttavia, quando si utilizza la torsione di Saint Venant, gli effetti di ingobbamento non vengono presi in considerazione. L'analisi delle membrane si basa sui principi di Bergan. Ad esempio, gli elementi triangolari sono definiti scomponendo le funzioni fondamentali in tre deformazioni del corpo rigido, tre condizioni di deformazione costante e tre gradienti lineari specifici di tensione e deformazione. All'interno di un elemento, il campo di deformazione mostra un comportamento quadratico, mentre il campo di tensione mantiene la linearità. La matrice di rigidezza dell'elemento K_L è quindi trasformata in nove parametri combinati dei tipi u_x, u_y, φ_z. Questi componenti della matrice sono incorporati nella matrice di rigidezza complessiva (18, 18), insieme ai componenti che contribuiscono agli effetti di flessione e taglio, risultando nel concetto di Lynn/Dhillon.

Successivamente, l'analisi prevede l'applicazione di piastre Mindlin, in cui le piastre con distorsioni di taglio distintive vengono analizzate utilizzando i principi di Timoshenko. Ciò consente a RFEM di risolvere correttamente i problemi relativi alle piastre spesse e sottili (piastre di Navier). In caso di problemi geometricamente non lineari, la divisione delle condizioni di tensione-deformazione in uno stato planare e la flessione con interazioni di taglio non è fattibile. Le interazioni tra questi stati sono considerate attraverso la matrice K_NL. RFEM utilizza una versione semplificata ma efficace della matrice K_NL, influenzata dagli approcci di Zienkiewicz. Viene utilizzata la componente quadrata ε₂ del tensore di deformazione di Green/Lagrange ε = ε₁ + ε₂. Si assume una distribuzione lineare di u_z (x, y) nella condizione di tensione planare e distribuzioni lineari di u_x (x, y) e u_y (x, y) durante l'interazione di flessione. Questa ipotesi è valida a causa dell'impatto primario dell'interazione che dipende dalla derivata prima dell'equazione differenziale e dalla rapida riduzione dell'influenza delle componenti di ordine superiore con divisioni di elementi più piccole. Numerose analisi numeriche hanno convalidato la correttezza di questo approccio.

Quando si tratta di elementi a guscio, è essenziale che lo spessore degli elementi sia significativamente inferiore alla loro estensione. Se questa condizione non è soddisfatta, è consigliabile modellare gli oggetti come solidi. Inoltre, quando si utilizzano elementi a guscio, si dovrebbe esercitare un'introduzione graduale di tensioni torsionali, poiché il grado di libertà rotazionale attorno alla normale alla superficie è altamente sensibile.

Elementi 3D

I seguenti elementi 3D sono implementati in RFEM: tetraedro, pentaedro (prisma, piramide) ed esaedro. Informazioni dettagliate sugli elementi applicati e le matrici sono disponibili in Sevčík 3D 3D Finite Elements with Rotational Degrees of Freedoms (in ceco, disponibile da Dlubal Software su richiesta).

Elemento solido (Hexahedron)

In generale, tutti i gradi di libertà rotazionali devono essere considerati critici per i solidi. Poiché la deformazione di un solido è determinata esclusivamente dai vettori di spostamento, la rotazione di un nodo della mesh, ad esempio a causa della torsione introdotta singolarmente, non influenza la deformazione all'interno del solido.